Jan
26
2013

Luas Daerah Kurva Dengan Integral

Soal-soal mengenai Luas Daerah Kurva dapat diselesaikan dengan beberapa metode. Untuk kurva berbentuk linear atau garis lurus, luas dapat dicari dengan metode biasa (menghitung luas segitiga atau trapesium). Tetapi untuk kurva dari persamaan kuadrat ataupun persamaan pangkat tiga, cara biasa tidak dapat digunakan.

Untuk kurva hasil persamaan kuadrat dan persamaan pangkat banyak lainnya, kita perlu menggunakan cara integral untuk menghitung luasnya. Cara integral inilah yang dipelajari pada tingkat Kelas XII IPA. Sebagai bahan belajar, berikut ini diberikan 8 contoh soal mengenai luas daerah kurva. Selamat berlatih :)

  1. Carilah luas kurva y = x^2 + 1 di antara garis x=0, x=4 dan sumbu x.
    Lihat Jawaban

        \begin{align*}        \int_0^4 (x^2+1) \: \mathrm{d}x &= \left[\frac{1}{3}x^3  + x \right]_0^4 \\          &= \frac{1}{3} \cdot 4^3 + 4 - (\frac{1}{3} \cdot 0^3 + 0 ) \\          &= \frac{64}{3} + \frac{12}{3} - 0 \\          &= \frac{76}{3} \\          &= 25\frac{1}{3} \: \text{satuan}        \end{align*}

  2. Tentukanlah luas yang dibentuk oleh y = sin x, y = 1, x = 0 dan terletak di kuadran 1.
    Lihat Jawaban

    Kuadran 1 artinya batas integral mulai dari 0 \: - \: \frac{\pi}{2}

        \begin{align*}           \text{Luas kurva} &= \int_0^\frac{\pi}{2} \sin x \: \mathrm{d}x \\           &= \left[-\cos x\right]_0^\frac{\pi}{2} \\           &= -\cos (\frac{\pi}{2}) - (-\cos 0) \\           &= 0 + 1 \\           &= 1        \end{align*}

  3. Perhatikan gambar di bawah ini.

    Parabola y=5-x^2 dan y = (x-1)^2

    Tentukan luas yang dibentuk oleh garis y = 5 - x^2 dan y = (x-1)^2.

    Lihat Jawaban

    Cari dahulu titik potong kedua kurva untuk dijadikan batas

        \begin{align*}          5 - x^2 &= (x-1)^2 \\          5 - x^2 &= x^2 - 2x + 1 \\          0 &= x^2 + x^2 - 2x + 1 - 5 \\          0 &= 2x^2 - 2x - 4 \\          0 &= x^2 - x - 2 \\          0 &= (x-2) (x+1) \\        \end{align*}

        \begin{align*}          x_1 &= 2 \\          x_2 &= -1 \\          y_1 &= (2-1)^2 \\              &= 1 \\          y_2 &= (-1-1)^2 \\              &= 4 \\        \end{align*}

    Jadi titik potong adalah (2, 1) dan (-1, 4), sehingga batas integral yang digunakan adalah -1 sampai dengan 2.

        \begin{align*}          \text{Luas kurva} &= \int_{-1}^2 5 - x^2 - (x-1)^2 \: \mathrm{d}x \\           &= \int_{-1}^2 5 - x^2 - (x^2 -2x + 1) \: \mathrm{d}x \\           &= \int_{-1}^2 5 - x^2 - x^2 + 2x - 1  \: \mathrm{d}x \\           &= \int_{-1}^2 -2x^2 + 2x + 4  \: \mathrm{d}x \\           &= \left[-\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x \right]_{-1}^2 \\           &= -\frac{2}{3} \cdot 2^3 + 2^2 + 4 \cdot 2 - \left(-\frac{2}{3} \cdot (-1)^3 + (-1)^2 + 4(-1) \right) \\           &= -\frac{16}{3} + 4 + 8 - \left(\frac{2}{3} + 1 - 4 \right) \\           &= -\frac{16}{3} + 12 - \frac{2}{3} + 3 \\           &= -\frac{18}{3} + 15 \\           &= -6 + 15 \\           &= 9        \end{align*}

  4. Carilah luas yang diarsir dari gambar dibawah ini. Persamaan garisnya adalah y^2 = x + 1 dan x - y = 1.
    parabola-garis
    Lihat Jawaban

    Supaya lebih mudah, lebih baik kita menghitung luas kurva terhadap sumbu y. Sesuaikan persamaan kurva sehingga menjadi x = y^2 -1 dan x = y + 1, lalu cari titik potong nya.

        \begin{align*}           y^2 - 1 &= y + 1 \\           y^2 - y - 1 - 1 &= 0 \\           y^2 - y -2 &= 0 \\           (y-2)(y+1) &= 0 \\        \end{align*}

        \begin{align*}           y_1 &= 2 \\           x_1 &= 2 + 1 \\               &= 3 \\           y_2 &= -1 \\           x_2 &= -1 + 1 \\               &= 0          \end{align*}

    Lakukan Integral dari kurva kanan dikurang kurva kiri. Gunakan batas integral dari -1 sampai 2.

        \begin{align*}           \text{Luas Kurva} &= \int_{-1}^2 y+1 - (y^2 - 1) \: \mathrm{d}y \\           &= \int_{-1}^2 y+1 - y^2 + 1 \: \mathrm{d}y \\           &= \int_{-1}^2 2 + y- y^2 \: \mathrm{d}y \\           &= \left[ 2y + \frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{3}y^3 \right]_{-1}^2 \\           &= 2(2) + \frac{1}{2}(2)^2 - \frac{1}{3}(2)^3 - \left[2(-1) + \frac{1}{2}(-1)^2 - \frac{1}{3}(-1)^3 \right] \\           &= 4 + 2 - \frac{8}{3} - \left[-2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right] \\           &= 6 - \frac{8}{3} + 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \\           &= 8 - \frac{9}{3} - \frac{1}{2} \\           &= 8 - 3 - \frac{1}{2} \\           &= 5 - \frac{1}{2} \\           &= 4\frac{1}{2}         \end{align*}

  5. Carilah luas daerah yang dibatasi oleh garis y=2x, y=\frac{1}{2}x dan x+y=6 !
    Lihat Jawaban

    Untuk menyelesaikan soal ini, gambarlah dulu ketiga garis dan tandai luas yang ingin dicari.

    luas-kurva-1

    Melihat gambar yang diarsir, cara untuk menyelesaikan adalah dengan membagi 2 daerah seperti gambar dibawah ini

    luas-kurva-2

    Cari terlebih dahulu titik potong antara kurva y=2x dengan x+y=6.

        \begin{align*}          x+y &= 6 \\          y &= 6-x \\          2x &= 6 -x \\          3x &= 6 \\           x &= 2 \\           y &= 6-2 \\             &= 4        \end{align*}

    Lalu cari titik potong antara kurva y=1/2 x dengan x+y=6.

        \begin{align*}          x+y &= 6 \\          y &= 6-x \\          \frac{1}{2}x &= 6 -x \\          \frac{3}{2}x &= 6 \\           x &= 6 \cdot \frac{2}{3} \\             &= 4 \\           y &= 6-4 \\             &= 2         \end{align*}

    Cari luas kurva bagian I.

        \begin{align*}           \text{Luas Kurva I} &= \int_0^2 2x - \frac{1}{2}x \: \mathrm{d}x \\             &= \int_0^2 \frac{3}{2}x \: \mathrm{d}x \\             &= \left[\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} x^2\right]_0^2 \\             &= \left[\frac{3}{4} x^2\right]_0^2 \\             &= \frac{3}{4} (2)^2 - 0 \\             &= 3          \end{align*}

    Cari luas kurva bagian II.

        \begin{align*}           \text{Luas Kurva II} &= \int_2^4 6-x - \frac{1}{2}x \: \mathrm{d}x \\             &= \int_2^4 6 - \frac{3}{2}x \: \mathrm{d}x \\             &= \left[6x - \frac{3}{4} x^2\right]_2^4 \\             &= 6(4) - \frac{3}{4} (4)^2 - \left(6(2) - \frac{3}{4}(2)^2 \right) \\             &= 24 - 12 - 12 + 3 \\              &= 3          \end{align*}

    Jadi luas yang diarsir adalah Luas Kurva I + Luas Kurva II = 6 cm.

  6. Hitunglah luas daerah kurva y = x^2 - 3x, yang dibatasi sumbu y dan garis x = 5 !
    Lihat Jawaban

    Untuk menyelesaikan soal ini, pertama carilah titik potong dengan sumbu x. Lalu supaya lebih jelas, gambarlah kurva tersebut.

    Titik potong dengan sumbu x

        \begin{align*}           y &= x^2 - 3x \\           0 &= x (x-3) \\           x_1 &= 0 \\           x_2 &= 3        \end{align*}

    Gambarlah kurva tersebut

    luas-kurva-4

    Dari gambar terlihat bahwa ada 2 daerah dimana yang satu berada di bawah sumbu x dan yang satu di atas sumbu x. Supaya penjumlahan kedua daerah tersebut benar, maka kita perlu untuk memecahkan integral menjadi dua interval, yaitu dari 0-3, dan dari 3-5.

        \begin{align*}           \text{Luas Daerah I} &= \int_0^3 x^2 - 3x \: \mathrm{d}x \\               &= \left[\frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 \right]_0^3 \\               &= \frac{1}{3}(3)^3 - \frac{3}{2}(3)^2 - 0 \\               &= \frac{1}{3}(27) - \frac{3}{2}(9) \\               &= 9 - \frac{27}{2} \\               &= \frac{18}{2} - \frac{27}{2} \\               &= -\frac{9}{2}        \end{align*}

        \begin{align*}           \text{Luas Daerah II} &= \int_3^5 x^2 - 3x \: \mathrm{d}x \\               &= \left[\frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 \right]_3^5 \\               &= \frac{1}{3}(5)^3 - \frac{3}{2}(5)^2 - \left(\frac{1}{3}(3)^3 - \frac{3}{2}(3)^2 \right) \\               &= \frac{1}{3}(125) - \frac{3}{2}(25) - \left(-\frac{9}{2} \right) \\               &= \frac{125}{3} - \frac{75}{2} + \frac{9}{2} \\               &= \frac{250}{6} - \frac{66}{2} \\               &= \frac{250}{6} - \frac{198}{6} \\               &= \frac{52}{6}        \end{align*}

    Tanda minus pada luas daerah I perlu diabaikan karena tanda minus hanya menandakan bahwa letak daerah berada di bawah sumbu x. Carilah luas kurva dengan menambahkan kedua daerah tersebut

        \begin{align*}         \text{Luas Kurva} &= \text{Luas Daerah I} + \text{Luas Daerah II} \\         &= \left| -\frac{9}{2} \right|  + \frac{52}{6} \\         &= \frac{27}{6} + \frac{52}{6} \\         &= \frac{79}{6} \\         &= 13\frac{1}{6}       \end{align*}

  7. Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh y = x^3 - 3x^2 + 2x dan sumbu x !
    Lihat Jawaban

    Untuk grafik fungsi pangkat 3, perlu dianalisa ada berapa titik potong pada sumbu x nya. Jika titik potong sumbu x lebih dari satu, maka untuk amannya, kita perlu melakukan integral secara terpisah untuk masing-masing interval titik potong. Ini karena dalam fungsi pangkat 3 terkadang ada fungsi naik dan fungsi turun yang saling meniadakan. Jika kita langsung mengintegral tanpa memecah interval, hasilnya akan salah.

    Cari titik potong grafik dengan sumbu x (berarti y = 0).

        \begin{align*}           y &= x^3 - 3x^2 + 2x \\             &= x(x^2 - 3x + 2) \\             &= x(x-2)(x-1) \\           0 &= x(x-2)(x-1) \\           x_1 &= 0 \\           x_2 &= 1 \\           x_3 &= 2        \end{align*}

    Jika digambar, hasilnya kurang lebih seperti di bawah ini.

    luas-kurva-3

    Disini dapat kita lihat bahwa daerah A berada di atas sumbu x dan daerah B di bawah sumbu x. Jika kita langsung menggabungkan kedua daerah tersebut, akan didapat hasil = 0, sehingga kita perlu memecah interval dan mencari masing-masing daerah.

        \begin{align*}          \text{Luas Daerah A} &= \int_0^1 x^3 - 3x^2 + 2x \: \mathrm{d}x \\           &= \left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{3}x^3 + \frac{2}{2}x^2 \right]_0^1 \\           &= \left[\frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 \right]_0^1 \\           &= \frac{1}{4}(1)^4 - (1)^3 + (1)^2 - 0 \\           &= \frac{1}{4} - 1 + 1 \\           &= \frac{1}{4}       \end{align*}

        \begin{align*}          \text{Luas Daerah B} &= \int_1^2 x^3 - 3x^2 + 2x \: \mathrm{d}x \\           &= \left[\frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 \right]_1^2 \\           &= \frac{1}{4}(2)^4 - (2)^3 + (2)^2 - \left(\frac{1}{4}(1)^4 - (1)^3 + (1)^2 \right) \\           &= \frac{1}{4}(16) - 8 + 4 - \left(\frac{1}{4} - 1 + 1 \right) \\           &= 4 - 8 + 4 - \frac{1}{4} \\           &= -\frac{1}{4}        \end{align*}

    Perhatikan bahwa luas B bernilai minus, karena letaknya yang di bawah sumbu x. Inilah yang menyebabkan perhitungan integral secara langsung akan saling meniadakan. Untuk menghitung luas, nilai minus ini harus kita abaikan, yang kita perhitungkan hanya luas daerahnya saja.

        \begin{align*}         \text{Luas Kurva} &= \text{Luas Daerah A} + \text{Luas Daerah B} \\         &= \frac{1}{4} + \left| -\frac{1}{4} \right| \\         &= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \\         &= \frac{1}{2}       \end{align*}

  8. Carilah luas daerah yang dibatasi oleh y = x^2 + 2x -3 dan y=-x^2 + 2x + 3 !
    Lihat Jawaban

    Gambarlah terlebih dahulu kurva tersebut.

    luas-kurva-5

    Terlihat dari gambar ada dua daerah yang perlu dicari secara terpisah, karena yang satu dibawah sumbu x dan satunya diatas sumbu x.

    Cari titik potong kurva y = x^2 + 2x -3 dengan sumbu x.

        \begin{align*}           y &= x^2 + 2x -3 \\           0 &= x^2 + 2x - 3 \\           0 &= (x - 1)(x + 3) \\           x_1 &= 1 \\           x_2 &= -3        \end{align*}

    Cari titik potong kurva y = -x^2 + 2x + 3 dengan sumbu x.

        \begin{align*}           y &= -x^2 + 2x + 3 \\           0 &= x^2 - 2x - 3 \\           0 &= (x + 1)(x - 3) \\           x_1 &= -1 \\           x_2 &= 3        \end{align*}

    Lalu cari titik potong antara kedua kurva.

        \begin{align*}           x^2 + 2x -3 &= -x^2 + 2x + 3 \\           x^2 + x^2 + 2x - 2x - 3 - 3 &= 0   \\           2x^2 - 6 &= 0 \\           2x^2 &= 6 \\           x^2 &= 3 \\           x &= \pm \sqrt{3} \\           x_1 &= \sqrt{3} \\           x_2 &= -\sqrt{3}       \end{align*}

    Luas pertama adalah daerah di bawah sumbu x. Daerah tersebut juga harus dibagi dua yaitu kurva y = x^2 + 2x -3 dengan batas dari -\sqrt{3} \: \text{sampai} \: 1 dikurangi dengan daerah kurva y = -x^2 + 2x + 3 dengan batas dari -\sqrt{3} \: \text{sampai} \: -1

        \begin{align*}          & \text{Luas Daerah I} \\           &= \int_{-\sqrt{3}}^1 x^2 + 2x -3 \: \mathrm{d}x - \int_{-\sqrt{3}}^{-1} -x^2 + 2x + 3 \: \mathrm{d}x \\           &= \left[\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x \right]_{-\sqrt{3}}^1 - \left[-\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x \right]_{-\sqrt{3}}^{-1} \\          &= \frac{1}{3}(1)^3 + 1^2 - 3(1) - \left(\frac{1}{3}(-\sqrt{3})^3 + (-\sqrt{3})^2 - 3(-\sqrt{3}) \right) - \left[-\frac{1}{3}(-1)^3 + (-1)^2 + 3(-1) - \left(-\frac{1}{3}(-\sqrt{3})^3 + (-\sqrt{3})^2 + 3(-\sqrt{3}) \right) \right] \\        &= \frac{1}{3} + 1 - 3 - \left(-\sqrt{3} + 3 + 3\sqrt{3} \right) - \\        &\quad \left[\frac{1}{3} + 1 - 3 - \left(\sqrt{3} + 3 -3\sqrt{3} \right) \right] \\        &= \frac{1}{3} - 2 - 2\sqrt{3} - 3 - \left[ \frac{1}{3} - 2 + 2\sqrt{3} - 3 \right] \\        &= \frac{1}{3} - 5 - 2\sqrt{3} - \frac{1}{3} + 5 - 2\sqrt{3} \\        &= \cancel{\frac{1}{3}} - \cancel{5} - 2\sqrt{3} - \cancel{\frac{1}{3}} + \cancel{5} - 2\sqrt{3} \\        &= -2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \\        &= -4\sqrt{3}        \end{align*}

    Luas kedua adalah daerah di atas sumbu x. Daerah tersebut juga harus dibagi dua yaitu kurva y = -x^2 + 2x + 3 dengan batas dari -1 \: \text{sampai} \: \sqrt{3} dikurangi dengan daerah kurva y = x^2 + 2x -3 dengan batas dari 1 \: \text{sampai} \: -\sqrt{3}

        \begin{align*}          & \text{Luas Daerah II} \\           &= \int_{-1}^{\sqrt{3}} -x^2 + 2x + 3 \: \mathrm{d}x - \int_1^{\sqrt{3}} x^2 + 2x -3 \: \mathrm{d}x \\          &= \left[-\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x \right]_{-1}^{\sqrt{3}} - \left[\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x \right]_1^{\sqrt{3}} \\          &= -\frac{1}{3}(\sqrt{3})^3 + (\sqrt{3})^2 + 3(\sqrt{3}) - \left(-\frac{1}{3}(-1)^3 + (-1)^2 + 3(-1) \right) - \\           & \quad \left[\frac{1}{3}(\sqrt{3})^3 + (\sqrt{3})^2 - 3(\sqrt{3}) - \left(\frac{1}{3}(1)^3 + 1^2 - 3(1)\right) \right] \\         &= -\sqrt{3} + 3 + 3\sqrt{3} - \left(\frac{1}{3} + 1 - 3 \right) - \left[\sqrt{3} + 3 - 3 \sqrt{3} - \left(\frac{1}{3} + 1 - 3 \right) \right] \\         &= 2\sqrt{3} + 3 - \frac{1}{3} + 2 - \left[-2\sqrt{3}+ 3 - \frac{1}{3} + 2 \right] \\         &= 2\sqrt{3} + 5 - \frac{1}{3} + 2\sqrt{3} - 5 + \frac{1}{3} \\         &= 2\sqrt{3} + \cancel{5} \cancel{-\frac{1}{3}} + 2\sqrt{3} \cancel{- 5} + \cancel{\frac{1}{3}} \\         &= 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \\         &= 4\sqrt{3}          \end{align*}

    Jadi luas daerah kurva = Luas Daerah I + Luas Daerah II

        \begin{align*}        \text{Luas daerah kurva} &= \text{Luas Daerah I} + \text{Luas Daerah II} \\        &= \left| -4\sqrt{3} \right| + 4\sqrt{3} \\        &= 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} \\        &= 8\sqrt{3}      \end{align*}

Comments are closed.