Dec
24
2012

Bangun Ruang Tabung, Kerucut dan Bola

Bangun ruang sisi lengkung untuk Kelas IX meliputi bangun tabung, kerucut dan bola.
Berikut ini diberikan contoh soal mengenai luas dan volume tabung, kerucut dan bola tersebut. Selain itu, ada tambahan beberapa soal kombinasi yang mencakup ketiga bangun tersebut.

  1. Sebuah tabung memiliki diameter 7 cm, tinggi 4 cm. Jika \pi = \frac{22}{7} hitunglah :

    1. Volume tabung
    2. Luas selimut tabung
    3. Luas alas tabung
    4. Luas tutup tabung
    5. Luas sisi tabung
    Lihat Jawaban

    1. Volume tabung = Luas alas x Tinggi

          \begin{align*}               V &= \pi r^2 \times t \\                 &= \frac{22}{7} \times {\left(\frac{7}{2}\right)}^2 \times 4 \\                 &= \frac{22}{\cancel{7}} \times \frac{\cancel{7}}{\cancel{2}} \times \frac{7}{\cancel{2}} \cdot \cancel{4} \\                 &= 22 \times 7 \\                 &= 154 \: cm^3            \end{align*}

    2. Luas selimut tabung = Keliling alas x Tinggi

          \begin{align*}               \text{Luas selimut tabung} &= 2 \pi r \times t \\               &= 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times 4 \\               &= \cancel{2} \times \frac{22}{\cancel{7}} \times \frac{\cancel{7}}{\cancel{2}} \times 4 \\               &= 22 \times 4 \\               &= 88 \: cm^2            \end{align*}

    3. Luas alas tabung = Luas lingkaran

          \begin{align*}                \text{Luas alas tabung} &= \pi r^2 \\                &= \frac{22}{7} \times {\left(\frac{7}{2}\right)}^2 \\                &= \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \\                &= \frac{\cancelto{11}{22}}{\cancel{7}} \times \frac{\cancel{7}}{\cancelto{1}{2}} \times \frac{7}{2} \\                &= 11 \times \frac{7}{2} \\                &= \frac{77}{2} \\                &= 38,5 \: cm^2             \end{align*}

    4. Luas tutup tabung = Luas alas tabung = 38,5 \: cm^2
    5. Luas sisi tabung = Luas selimut + Luas alas + Luas tutup

          \begin{align*}                \text{Luas sisi tabung} &= 88 + 38,5 + 38,5 \\                &= 165 \: cm^2             \end{align*}

  2. Sebuah tabung mempunyai diameter yang sama dengan tingginya. Jika luas selimut tabung tersebut adalah 78,5 \: cm^2. Jika \pi = 3,14, berapakah volume tabung tersebut ?
    Lihat Jawaban

    Karena diameter = tinggi, maka misalkan diameter = tinggi = x.

        \begin{align*}         \text{Luas selimut tabung} &= 2 \pi r \times t \\         78,5 &= \pi \times 2r \times t \\         78,5 &= \pi \times d \times t \\         78,5 &= \pi \cdot x \cdot x \\          78,5 &= \pi \cdot x^2 \\          \frac{78,5}{\pi} &= x^2 \\         \frac{78,5}{3,14} &= x^2 \\         25 &= x^2 \\          x &= 5       \end{align*}

    Jadi diameter tabung adalah 5 cm, sehingga jari-jari tabung adalah 2,5 cm. Lalu tinggi tabung juga 5 cm.

        \begin{align*}           V &= \pi r^2 \times t \\             &= \pi \times (2,5)^2 \times 5 \\             &= \pi \times 6,25 \times 5 \\             &= \pi \times 31,25 \\             &= 3,14 \times 31,25 \\             &= 98,125        \end{align*}

    Jadi volume tabung tersebut adalah 98,125 \: cm^3

  3. Sebuah kerucut mempunyai diameter 10 cm dan tinggi 12 cm. Jika \pi = 3,14 hitunglah :

    1. Volume kerucut
    2. Luas selimut kerucut
    3. Luas alas kerucut
    4. Luas sisi kerucut
    Lihat Jawaban

    1. Volume kerucut = \frac{1}{3} x Luas alas x Tinggi

          \begin{align*}               V &= \frac{1}{3} \times \pi r^2 \times t \\                 &= \frac{1}{3} \times \pi \times 5^2 \times 12 \\                 &= \frac{1}{\cancel{3}} \times \pi \times 25 \times \cancelto{4}{12} \\                 &= 25 \times 4 \times \pi \\                 &= 100 \pi \\                 &= 100 \times 3,14 \\                 &= 314 \: cm^2            \end{align*}

    2. Luas selimut kerucut = \pi r \: s. Kita harus terlebih dahulu mencari s (garis pelukis) dengan rumus phytagoras.

          \begin{align*}              s^2 &= r^2 + t^2 \\              s^2 &= 5^2 + 12^2 \\              s^2 &= 25 + 144 \\              s^2 &= 169 \\              s &= \sqrt{169} \\              s &= 13            \end{align*}

          \begin{align*}               \text{Luas selimut kerucut} &= \pi r \: s \\               &= \pi \times 5 \times 13 \\               &= 65 \pi \\               &= 65 \times 3,14 \\               &= 204,1 \: cm^2            \end{align*}

    3. Luas alas kerucut = Luas lingkaran

          \begin{align*}                \text{Luas alas kerucut} &= \pi r^2 \\                &= \pi \times 5^2 \\                &= 25 \pi \\                               &= 25 \times 3,14 \\                &= 78,5 \: cm^2             \end{align*}

    4. Luas sisi kerucut = Luas selimut + Luas alas

          \begin{align*}                \text{Luas sisi kerucut} &= 204,1 + 78,5 \\                &= 282,6 \: cm^2             \end{align*}

  4. Sebuah kerucut terpancung seperti gambar di bawah ini. Jari-jari alas adalah 2 kali jari-jari tutup, dan tinggi kerucut besar 2 kali tinggi kerucut kecil. Jika jari-jari alas 14 cm dan tinggi bangun 21 cm, berapakah volume bangun tersebut?

    kerucut terpancung

    Lihat Jawaban

    Volume bangun = Volume kerucut besar – Volume kerucut kecil

        \begin{align*}            V &= \frac{1}{3} \pi \: r_2^2 \: t_2 - \frac{1}{3} \pi \: r_1^2 \: t_1 \\              &= \frac{1}{3} \pi \times 14^2 \times 42 - \frac{1}{3} \pi \times 7^2 \times 21 \\              &= \frac{1}{\cancel{3}} \pi \times 14^2 \times \cancelto{14}{42} - \frac{1}{\cancel{3}} \pi \times 7^2 \times \cancelto{7}{21} \\              &= 14^3 \pi - 7^3 \pi \\              &= (14^3 - 7^3) \pi \\              &= (2744 - 343) \pi \\              &= 2401 \pi \\              &= 2401 \times \frac{22}{7} \\              &= 7546 \: cm^3        \end{align*}

  5. Sebuah kerucut dibuat dari selembar karton berbentuk juring lingkaran dengan sudut pusat 288 derajat dan jari-jari 10 cm. Hitunglah volume kerucut yang terbentuk ! (gunakan \pi = 3,14 )

    juring

    Lihat Jawaban

    Untuk kerucut yang dibuat dari juring, maka luas juring akan sama dengan luas selimut kerucut, dan jari-jari juring akan menjadi garis pelukis kerucut.

        \begin{align*}          \text{Luas juring karton} &= \frac{\text{sudut}}{360^o} \times \pi \: r^2 \\          &= \frac{288}{360} \times \pi \times 10^2 \\          &= 0.8 \times 100 \pi \\          &= 80 \pi \: cm^2        \end{align*}

    Luas selimut kerucut = Luas juring karton = 80 \pi \: cm^2.

    Garis pelukis kerucut = Jari-jari juring = 10 cm.

        \begin{align*}          \text{Luas Selimut Kerucut} &= \pi \: r \: s \\          80 \pi &= \pi \: r \: 10 \\          80 \cancel{\pi} &= \cancel{\pi} \: r \: 10 \\          80 &= 10r \\           r &= 8 \: cm         \end{align*}

    Berikutnya cari tinggi kerucut menggunakan rumus phytagoras

        \begin{align*}          t^2 &= s^2 - r^2 \\           &= 10^2 - 8^2 \\           &= 100 - 64 \\           &= 36 \\          t &= \sqrt{36} \\            &= 6 \: cm        \end{align*}

    Setelah mendapat tinggi, baru kita bisa menghitung volume kerucut.

        \begin{align*}          V &= \frac{1}{3} \times \pi r^2 \times t \\            &= \frac{1}{3} \times \pi \times 8^2 \times 6 \\            &= \frac{1}{\cancel{3}} \times \pi \times 8^2 \times \cancelto{2}{6} \\            &= \pi \times 64 \times 2 \\            &= 128 \pi \\            &= 401,92 \: cm^3         \end{align*}

  6. Sebuah bola basket mempunyai diameter 20 cm. Hitunglah :

    1. Volume bola basket
    2. Luas sisi bola basket
    Lihat Jawaban

    1. Volume bola basket = \frac{4}{3} \pi r^3, dimana jari-jari bola = 10 cm.

          \begin{align*}                V &= \frac{4}{3} \times \pi \times 10^3 \\                  &= \frac{4}{3} \times \pi \times 1000 \\                  &= \frac{4000}{3} \pi \\                  &= \frac{4000}{3} \times 3,14 \\                  &= 4.186,67 \: cm^3             \end{align*}

    2. Luas sisi bola basket = 4 \pi r^2

          \begin{align*}                L &= 4 \times \pi \times 10^2 \\                  &= 400 \pi \\                  &= 400 \times 3,14 \\                  &= 1256 \: cm^2             \end{align*}

  7. Sebuah benda padat berbentuk setengah bola mempunyai diameter 10 cm. Hitunglah luas permukaan benda tersebut !
    Lihat Jawaban

    Luas permukaan benda = Luas sisi setengah bola + Luas lingkaran (Luas penutup setengah bola)

        \begin{align*}           L &= \frac{1}{2} \times 4 \pi r^2 + \pi r^2 \\             &= 2 \pi r^2 + \pi r^2 \\             &= 3 \pi r^2 \\             &= 3 \times 3,14 \times 5^2 \\             &= 3 \times 3,14 \times 25 \\             &= 235,5 \: cm^2        \end{align*}

  8. Perhatikan gambar di bawah ini !

    tabung-bola

    Sebuah tabung dengan diameter 20 cm berisi air setengah penuh. Jika sebuah bola berdiameter 6 cm dimasukkan ke dalam tabung tersebut, berapakah tinggi air yang naik?

    Lihat Jawaban

    Cari dulu volume bola.

        \begin{align*}           V_{bola} &= \frac{4}{3} \pi r^3 \\           &= \frac{4}{3} \times \pi \times 3^3 \\           &= 4 \times \pi \times 3^2 \\           &= 36 \pi \: cm^3        \end{align*}

    Volume air yang naik adalah sama dengan volume bola. Cari tinggi air yang naik dengan menggunakan volume air yang naik pada tabung.

        \begin{align*}           V_{air} &= \pi r^2 t \\           36 \pi &= \pi \times 10^2 \times t \\           36 \cancel{\pi} &= \cancel{\pi} \times 100 \times t \\          36 &= 100 t \\           t &= \frac{36}{100} \\           t &= 0,36 \: cm        \end{align*}

    Jadi tinggi air yang naik adalah 0,36 cm.

  9. Sebuah bandul terdiri atas sebuah tabung dan setengah bola dengan jari-jari 6 cm seperti gambar di bawah.

    bandul

    Jika tinggi seluruhnya 15 cm dan \pi = \frac{22}{7}. Hitunglah volume bandul tersebut

    Lihat Jawaban

    Tinggi kerucut = Tinggi seluruhnya – Jari-jari bola

        \begin{align*}          t &= 15 \: cm - 6 \: cm \\            &= 9 \: cm        \end{align*}

    Volume bandul = Volume kerucut + Volume setengah bola

        \begin{align*}           V &= \frac{1}{3} \pi r^2 t + \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi r^3 \\             &= \frac{1}{3} \times \pi \times 6^2 \times 9 + \frac{2}{3} \times \pi \times 6^3 \\             &= \frac{1}{\cancel{3}} \times \pi \times 6^2 \times \cancelto{3}{9} + \frac{2}{\cancel{3}} \times \pi \times \cancelto{72}{6^3} \\              &= \pi \times 36 \times 3 + 2 \times \pi \times 72 \\             &= 108 \pi + 144 \pi \\             &= 252 \pi \\             &= 252 \times \frac{22}{7} \\             &= 36 \times 22 \\             &= 792 \: cm^3        \end{align*}

  10. Gambar dibawah ini merupakan tabung dengan bagian atas dan bawah berupa setengah bola.

    tabung-2bola

    Jika diameter tabung 8,4 cm dan tinggi tabung 20 cm dan \pi = \frac{22}{7}, tentukan luas permukaan tabung yang diarsir !
    Lihat Jawaban

    Luas tabung yang diarsir = Luas selimut tabung – 2 Luas setengah bola (tanpa tutup)

        \begin{align*}          L &= \pi \: d \: t - 2 \times \frac{1}{2} \times 4 \pi r^2 \\            &= \pi \times 8,4 \times 20 - 4 \times \pi \times (4,2)^2 \\            &= 168 \pi - 4 \times \pi \times 17,64 \\            &= 168 \pi - 70,56 \pi \\            &= 97,44 \pi \\            &= 97,44 \times \frac{22}{7} \\            &= 13,92 \times 22 \\            &= 306,24 \: cm^2        \end{align*}

Related Posts

Comments are closed.