Oct
2
2012

Kesebangunan

Berikut ini adalah soal mengenai kesebangunan yang merupakan lanjutan dari soal kongruen. Hampir semua soal kesebangunan diselesaikan dengan cara menggambar bangun yang saling sebangun lalu menggunakan perbandingan untuk mencari sisi yang ditanyakan di soal.

Soal kesebangunan kali ini terdiri dari soal kesebangunan segitiga, soal trapesium, soal mengenai skala dan juga soal mengenai segitiga siku-siku. Semoga bermanfaat dan selamat berlatih.

  1. Perhatikan gambar di bawah ini

    Dua segitiga sebangun

    Diketahui : AB = 8 cm , BC = 6 cm, DE = 12 cm dan DF = 10 cm.

    1. Apakah \Delta ABC dan \Delta DEF sebangun ? Jelaskan !
    2. Tentukan pasangan sisi yang bersesuaian dan sebanding
    3. Hitunglah panjang AC
    4. Hitunglah panjang EF
    Lihat Jawaban

    1. Perhatikan sudut-sudut kedua segitiga

          \begin{align*}                 \angle A &= \angle D \quad (\text{Diketahui}) \\                 \angle C &= \angle F \quad (\text{Diketahui}) \\                 \angle B &= \angle E \quad (\text{Karena dua sudut lainnya sama})                \end{align*}

      Jadi \Delta ABC dan \Delta DEF adalah sebangun, karena mempunyai tiga sudut yang sama besar.

    2. Sisi bersesuaian adalah sisi yang menghadap sudut yang sama. Jadi :

          \begin{align*}                  & \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}              \end{align*}

    3. Gunakan rumus kesebangunan di atas

          \begin{align*}                 \frac{AB}{DE} &= \frac{AC}{DF} \\                 \frac{8}{12} &= \frac{AC}{10} \\                 12 \times AC &= 8 \times 10 \\                 AC &= \frac{8 \times 10}{12} \\                 AC &= \frac{2 \times 10}{3} \\                 AC &= \frac{20}{3} \\                 AC &= 6\frac{2}{3} \: cm               \end{align*}

    4. Gunakan rumus kesebangunan di atas

          \begin{align*}                 \frac{AB}{DE} &= \frac{BC}{EF} \\                 \frac{8}{12} &= \frac{6}{EF} \\                 8 \times EF &= 6 \times 12 \\                 EF &= \frac{6 \times 12}{8} \\                 EF &= \frac{6 \times 3}{2} \\                 EF &= 9 \: cm              \end{align*}

  2. Perhatikan gambar berikut ini

    Sebuah segitiga ABC dengan garis DE sejajar garis AB

    Pada gambar di atas, DE // AB. Panjang CD = 15; AD = 11; CE = 3x; dan BE = 2x + 2. Tentukan panjang x.

    Lihat Jawaban

    Perhatikan bahwa \Delta CDE dan \Delta CAB adalah sebangun karena ketiga sudutnya bersesuaian

    Gambar segitiga CDE dan CAB yang sebangun

        \begin{align*}           \frac{CD}{CA} &= \frac{CE}{CB} \\            \frac{15}{15+11} &= \frac{3x}{3x+2x+2} \\            \frac{15}{26} &= \frac{3x}{5x+2} \\           15 \cdot (5x+2) &= 26 \cdot (3x) \\           \cancelto{5}{15} \cdot (5x+2) &= 26 \cdot \cancelto{x}{3x} \\           5 \cdot (5x+2) &= 26 \cdot (x) \\             25x + 10 &= 26x \\           10 &= 26x - 25x \\           10 &= x \\            x &= 10         \end{align*}

  3. Perhatikan gambar di bawah ini

    Sebuah trapesium ABCD dengan garis PQ sejajar AB memotong sisi AD di tengah-tengah

    Pada gambar di atas, CD // PQ // AB. Panjang CD = 3 cm; AD = 7 cm. Tentukan panjang PQ.

    Lihat Jawaban

    Tarik garis DE agar sejajar dengan CB. Garis DE akan memotong garis PQ di titik F, sehingga panjang FQ = CD = 3 cm. Panjang EB juga 3 cm sehingga panjang AE = 4 cm. Hasilnya adalah seperti gambar di bawah ini.

    Trapesium ABCD yang sudah ditambah garis DE yang sejajar CB

    Dengan demikian untuk mencari PQ, kita tinggal mencari PF dengan cara :

        \begin{align*}          \frac{DP}{DA} &= \frac{PF}{AE} \\          \frac{1}{2} &= \frac{PF}{4} \quad \text{ (karena DP=PA, maka DP:DA = 1:2) } \\             2 PF &= 4 \\          PF &= 2 \: cm        \end{align*}

        \begin{align*}        \text{Jadi} \quad PQ &= PF + FQ \\           &= 2 \: cm + 3 \: cm \\           &= 5 \: cm       \end{align*}

  4. Tinggi pintu dan tinggi rumah pada suatu maket adalah 8 cm dan 24 cm. Tinggi pintu sebenarnya 2 m. Berapakah tinggi rumah sebenarnya ? Berapa skala maket tersebut ?

    Lihat Jawaban

        \begin{align*}          \frac{\text{Tinggi pintu pada maket}}{\text{Tinggi rumah pada maket}} &= \frac{\text{Tinggi pintu sebenarnya}}{\text{Tinggi rumah sebenarnya}} \\          \frac{8 \: cm}{24 \: cm} &= \frac{2 \times 100 \: cm}{\text{Tinggi rumah sebenarnya}} \\          \frac{\cancelto{1}{8 \: cm}}{\cancelto{3}{24 \: cm}} &= \frac{200}{x} \\          \frac{1}{3} &= \frac{200}{x} \\          x &= 600 \: cm         \end{align*}

    Jadi Tinggi Rumah Sebenarnya = 600 cm = 6 m

        \begin{align*}           \text{Skala} &= \frac{\text{Tinggi pintu pada maket}}{\text{Tinggi pintu sebenarnya}} \\           \text{Skala} &= \frac{8 \: cm}{2 \times 100 \: cm} \\           \text{Skala} &= \frac{1}{25} \\           \text{Skala} &= 1 : 25        \end{align*}

  5. Sebuah foto ditempatkan pada karton berukuran 50 cm x 90 cm, pada posisi searah dengan karton. Disamping kiri, kanan, dan atas foto terdapat sisi karton yang lebarnya 5 cm. jika foto dan karton sebangun, maka berapakah panjang karton di bagian bawah foto ?

    Lihat Jawaban

    Gambarlah soal diatas agar lebih mudah dipahami

    Gambar foto dan karton yang sebangun

        \begin{align*}        \frac{\text{Lebar Foto}}{\text{Lebar Karton}} &= \frac{\text{Panjang Foto}}{\text{Panjang Karton}} \\        \frac{50 - 5 - 5}{50} &= \frac{90 - 5 - x}{90} \\        \frac{40}{50} &= \frac{85 - x}{90} \\        \frac{4}{5} &= \frac{85 - x}{90} \\        \frac{4}{\cancel{5}} &= \frac{85-x}{\cancelto{18}{90}} \\        4 &= \frac{85-x}{18} \\        4 \cdot 18 &= 85 - x \\        72 &= 85 - x \\        x &= 85 - 72 \\        x &= 13       \end{align*}

    Jadi panjang karton di bagian bawah foto adalah 13 cm

  6. Perhatikan gambar berikut ini.

    Jajar genjang ABCD dengan DE tegak lurus AB dan FG tegak lurus BC

    Diketahui jajar genjang ABCD. DE \perp AB dan FG \perp BC. Panjang AB = 8; BE = 5; DF = 2; dan AD = 10. Tentukan panjang BG !

    Lihat Jawaban

    Gambarlah dua segitiga yang sebangun, yaitu segitiga AED dan segitiga CGF. Lalu cari panjang CF=8 cm – 2 cm = 6 cm

    Dua segitiga sebangun AED dan CGF

        \begin{align*}         \frac{CF}{AD} &= \frac{CG}{AE} \\         \frac{6}{10} &= \frac{CG}{3} \\         10 \cdot CG &= 18 \\         CG &= \frac{18}{10} \\         CG &= 1,8 \: cm       \end{align*}

        \begin{align*}         BG &= BC - CG \\         BG &= 10 - 1,8 \\         BG &= 8,2 \: cm       \end{align*}

  7. Pada gambar di bawah ini, diketahui CD = 9 cm, CE = 6 cm, dan BC = 12 cm. Hitunglah panjang AC !

    Segitiga ABC dengan garis BE tegak lurus AC dan garis AD tegak lurus BC

    Lihat Jawaban

    Langkah pertama dalam mengerjakan soal ini adalah mencari segitiga yang sebangun. Perhatikan titik C, disitu ada dua segitiga siku-siku yang mempunyai titik C yang sama, yaitu segitiga ADC dan BEC. Karena ketiga pasang sudut segitiga-segitiga tersebut adalah sama, maka keduanya adalah sebangun.

    Segitiga ADC dan BEC sebangun

        \begin{align*}       \frac{CD}{CE} &= \frac{AC}{BC} \\       \frac{9}{6} &= \frac{AC}{12} \\       AC &= \frac{9 \times 12}{6} \\       AC &= 18 \: cm     \end{align*}

  8. Segitiga ABC di bawah ini siku-siku di A. Panjang BC = 20 cm dan BD = 8 cm. Tentukan panjang AD, AB dan AC !

    Segitiga ABC siku-siku di A dan AD tegak lurus BC

    Lihat Jawaban

    Ada rumus kesebangunan yang berlaku untuk mencari sisi-sisi dari segitiga siku-siku seperti soal di atas, yaitu :

    Rumus kesebangunan untuk mencari sisi segitiga siku-siku

    1. Cari panjang AD dengan rumus AD^2 &= BD \times CD

          \begin{align*}            CD &= BC - BD \\            CD &= 20 - 8 \\            CD & = 12 \: cm        \end{align*}

          \begin{align*}            AD^2 &= BD \times CD \\            AD^2 &= 8 \times 12 \\            AD^2 &= 96 \\            AD &= \sqrt{96} \\            AD &= \sqrt{16 \cdot 6} \\            AD &= 4 \sqrt{6} \: cm        \end{align*}

    2. Cari panjang AB dengan rumus AB^2 &= BD \times BC

          \begin{align*}            AB^2 &= BD \times BC \\            AB^2 &= 8 \times 20 \\            AB^2 &= 160 \\            AB &= \sqrt{160} \\            AB &= \sqrt{16 \cdot 10} \\            AB &= 4 \sqrt{10} \: cm        \end{align*}

    3. Cari panjang AC dengan rumus AC^2 &= CD \times CB

          \begin{align*}            AC^2 &= CD \times CB \\            AC^2 &= 12 \times 20 \\            AC^2 &= 240 \\            AC &= \sqrt{240} \\            AC &= \sqrt{16 \cdot 15} \\            AC &= 4 \sqrt{15} \: cm        \end{align*}

Related Posts

Comments are closed.