Aug
29
2012

Integral Dengan Teknik Substitusi

Pada posting sebelumnya sudah dibahas mengenai Integral Tak Tentu. Soal-soal pada posting itu masih berupa integral yang sederhana. Jika ada bentuk integral yang lebih rumit, tidak bisa menggunakan cara seperti biasa lagi.

Salah satu cara menyelesaikan soal integral yang rumit tersebut adalah dengan teknik substitusi. Teknik substitusi menggunakan permisalan dan turunan untuk membuat soal integral menjadi lebih sederhana. Berikut ini adalah sepuluh contoh soal integral menggunakan teknik substitusi. Selamat berlatih :)

  1. \int (2x^4 - 5)^6 x^3 \: \mathrm{d}x = \dots
    Lihat Jawaban

    Lakukan permisalan u=2x^4 - 5 dan turunkan kedua ruas

        \begin{align*}  {\color{red} u } &\color{red}= 2x^4 - 5 \\  \mathrm{d}u &= 8x^3 \: \mathrm{d}x \\  \frac{1}{8} \mathrm{d}u &= x^3 \: \mathrm{d}x \\  {\color{blue} x^3 \: \mathrm{d}x} &{\color{blue}= \frac{1}{8} \mathrm{d}u} \end{align*}

    Lakukan substitusi

        \begin{align*}   \int ({\color{red}2x^4 - 5})^6 {\color{blue} x^3 \: \mathrm{d}x} &= \int {\color{red}u}^6 \: \color{blue} \frac{1}{8} \: \mathrm{d}u \\   &= \frac{1}{8} \int u^6 \mathrm{d}u \\    &= \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{7} u^7 + C  \\   &= \frac{{\color{red}u}^7}{56} + C \\   &= \frac{({\color{red}2x^4-5})^7}{56} + C  \end{align*}

  2. \int \frac{10-4x}{\sqrt[3]{(x-2)(x-3)}} \: \mathrm{d}x = \dots
    Lihat Jawaban

    Misalkan lalu turunkan kedua ruas:

        \begin{align*}        u &= (x-2)(x-3) \\        u &= x^2-5x+6 \\        \mathrm{d}u &= 2x - 5 \: \mathrm{d}x      \end{align*}

    Lakukan substitusi :

        \begin{align*}          \int \frac{10-4x}{\sqrt[3]{(x-2)(x-3)}} \: \mathrm{d}x &= \int \frac{-2(2x-5) \: \mathrm{d}x}{\sqrt[3]{x^2-5x+6}} \\       &= \int \frac{-2 \: \mathrm{d}u}{\sqrt[3]{u}} \\       &= \int -2 \cdot u^{-\frac{1}{3}} \: \mathrm{d}u \\        &= -2 \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C \\       &= -3 (x^2-5x+6)^{\frac{2}{3}} + C \\       &= -3 \sqrt[3]{(x^2-5x+6)^2} + C       \end{align*}

  3. \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{4x+3}} = \dots
    Lihat Jawaban

    Misalkan lalu turunkan kedua ruas:

        \begin{align*}        u &= 4x+3 \\        \mathrm{d}u &= 4 \: \mathrm{d}x \\        \frac{1}{4} \: \mathrm{d}u &= \mathrm{d}x \\      \end{align*}

    Lakukan substitusi :

        \begin{align*}         \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{4x+3}} &= \int \frac{\frac{1}{4} \: \mathrm{d}u}{\sqrt{u}} \\         &= \frac{1}{4} \int u^{-\frac{1}{2}} \: \mathrm{d}u \\         &= \frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C \\         &= \frac{1}{2} \sqrt{4x+3} + C      \end{align*}

  4. \int \sqrt{x^4 - 3x^2} \: \mathrm{d}x = \dots
    Lihat Jawaban

    Faktorkan x^2 dari soal

        \begin{align*}          \int \sqrt{x^4 - 3x^2} \: \mathrm{d}x &= \int \sqrt{x^2(x^2 - 3)} \: \mathrm{d}x \\          &= \int x \sqrt{x^2 -3} \: \mathrm{d}x       \end{align*}

    Lalu misalkan u dan cari turunan dari kedua ruas :

        \begin{align*}         u &= x^2 - 3 \\         \mathrm{d}u &= 2x \: \mathrm{d}x \\         \frac{\mathrm{d}u}{2x} &= \mathrm{d}x       \end{align*}

    Lalu lakukan substitusi :

        \begin{align*}         \int x \sqrt{x^2 -3} \: \mathrm{d}x &= \int \cancel{x} \cdot \sqrt{u} \cdot \frac{\mathrm{d}u}{2\cancel{x}} \\         &= \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} \: \mathrm{d}u \\         &= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C \\         &= \frac{1}{3} (x^2-3)^{\frac{3}{2}} + C \\         &= \frac{1}{3} (x^2-3) \sqrt{x^2-3} + C        \end{align*}

  5. \int \frac{4x+8}{x^2+4x+25} \: \mathrm{d}x = \dots
    Lihat Jawaban

    Lakukan permisalan dan turunkan kedua ruas :

        \begin{align*}       u &= x^2+4x+25 \\      \mathrm{d}u &= (2x + 4) \: \mathrm{d}x     \end{align*}

    Lalu substitusi :

        \begin{align*}        \int \frac{4x+8}{x^2+4x+25} \: \mathrm{d}x &= \int \frac{2(2x+4)}{x^2+4x+25} \: \mathrm{d}x \\        &= \int \frac{2(2x+4) \: \mathrm{d}x}{x^2+4x+25} \\        &= \int \frac{2 \: \mathrm{d}u}{u} \\        &= 2 \int \frac{\mathrm{d}u}{u} \\        &= 2 \ln |u| + C \\        &= 2 \ln |x^2+4x+25| + C       \end{align*}

  6. \int \frac{6x^3}{\sqrt{x^2+1}} \: \mathrm{d}x = \dots
    Lihat Jawaban

    Misalkan u = x^2+1 lalu turunkan kedua ruas :

        \begin{align*}     u &= x^2+1 \\     \mathrm{d}u &= 2x \: \mathrm{d}x \\     \frac{\mathrm{d}u}{2} &= x \: \mathrm{d}x \\   \end{align*}

    Setelah itu cari juga x^2

        \begin{align*}     u &= x^2 + 1 \\     u-1 &= x^2 \\     x^2 &= u - 1   \end{align*}

    Lakukan substitusi

        \begin{align*}     \int \frac{6x^3}{\sqrt{x^2+1}} \: \mathrm{d}x &= \int \frac{6 \cdot x^2 \cdot x}{\sqrt{x^2+1}} \: \mathrm{d}x \\       &= 6 \int \frac{(u-1)}{\sqrt{u}} \cdot \frac{\mathrm{d}u}{2} \\      &= 6 \cdot \frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} (u-1) \: \mathrm{d}u \\      &= 3 \int u^{\frac{1}{2}} - u^{-\frac{1}{2}} \: \mathrm{d}u \\      &= 3 \left( \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 2u^{\frac{1}{2}} \right) + C \\      &= 2u^{\frac{3}{2}} - 6u^{\frac{1}{2}} + C \\      &= 2(x^2+1)^{\frac{3}{2}} - 6(x^2+1)^{\frac{1}{2}} + C \\      &= 2(x^2+1)\sqrt{x^2+1} - 6\sqrt{x^2+1} + C \\   \end{align*}

  7. \int x^5 \sqrt{1+x^2} \: \mathrm{d}x = \dots
    Lihat Jawaban

    Misalkan u=1+x^2 dan turunkan kedua ruas:

        \begin{align*}     u &= 1+x^2 \\     \mathrm{d}u &= 2x \: \mathrm{d}x \\     \frac{\mathrm{d}u}{2} &= x \: \mathrm{d}x \\   \end{align*}

    Setelah itu cari juga x^2

        \begin{align*}     u &= 1+x^2 \\     u-1 &= x^2 \\     x^2 &= u - 1   \end{align*}

    Lakukan substitusi

        \begin{align*}     &\int x^5 \sqrt{1+x^2} \: \mathrm{d}x \\     &= \int x \cdot x^4 \sqrt{1+x^2} \: \mathrm{d}x \\     &= \int x \cdot (x^2)^2 \sqrt{1+x^2} \: \mathrm{d}x \\      &= \int (x^2)^2 \sqrt{1+x^2} \: x \: \mathrm{d}x \\      &= \int (u-1)^2 \sqrt{u} \: \frac{\mathrm{d}u}{2} \\     &= \frac{1}{2} \int \sqrt{u} (u^2-2u+1) \: \mathrm{d}u \\     &= \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} (u^2-2u+1) \: \mathrm{d}u \\     &= \frac{1}{2} \int u^{\frac{5}{2}} - 2u^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{1}{2}} \: \mathrm{d}u \\     &= \frac{1}{2} \left(\frac{2}{7}u^{\frac{7}{2}} - 2 \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3}u^\frac{3}{2} \right) + C \\     &= \frac{1}{7}u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{3}u^\frac{3}{2} + C \\     &= \frac{1}{7}(x^2+1)^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5}(x^2+1)^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{3}(x^2+1)^\frac{3}{2} + C    \end{align*}

  8. \int \sqrt{1+\sqrt{x}} \: \mathrm{d}x = \dots
    Lihat Jawaban

    Misalkan dan cari turunan kedua ruas:

        \begin{align*}      u &= 1 + \sqrt{x} \\      u - 1 &= \sqrt{x} \\      (u-1)^2 &= x \\      2(u-1) \mathrm{d}u &= \mathrm{d}x      \end{align*}

    Lakukan Substitusi :

        \begin{align*}       \int \sqrt{1+\sqrt{x}} \: \mathrm{d}x &= \int \sqrt{u} \: 2(u-1) \: \mathrm{d}u \\       &= 2 \int u^{\frac{1}{2}}(u-1) \: \mathrm{d}u \\       &= 2 \int u^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{1}{2}} \: \mathrm{d}u \\       &= 2 \left(\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} \right) + C \\       &= \frac{4}{5}u^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3}u^{\frac{3}{2}} + C \\       &= \frac{4}{5}(1+\sqrt{x})^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3}(1+\sqrt{x})^{\frac{3}{2}} + C      \end{align*}

  9. \int x \sqrt[3]{4 - 5x} \: \mathrm{d}x = \dots
    Lihat Jawaban

    Misalkan dan turunkan kedua ruas :

        \begin{align*}         u &= \sqrt[3]{4 - 5x} \\         u &= (4-5x)^{\frac{1}{3}} \quad \quad \text{ Kiri kanan dipangkatkan 3}\\         u^3 &= 4 - 5x \\         3u^2 \: \mathrm{d}u &= -5 \: \mathrm{d}x \\         -\frac{3u^2}{5} \: \mathrm{d}u &= \mathrm{d}x \\       \end{align*}

    Cari juga nilai x dari persamaan diatas

        \begin{align*}         u &= \sqrt[3]{4 - 5x} \\         u &= (4-5x)^{\frac{1}{3}} \quad \quad \text{ Kiri kanan dipangkatkan 3}\\         u^3 &= 4 - 5x \\         5x &= 4 - u^3 \\          x &= \frac{4-u^3}{5}       \end{align*}

    Substitusi soal dengan hasil permisalan diatas

        \begin{align*}       &\int x \: \sqrt[3]{4 - 5x} \: \mathrm{d}x \\        &= \int \frac{4-u^3}{5} \cdot u \cdot -\frac{3u^2}{5} \: \mathrm{d}u \\        &= \int \frac{u (-3u^2)(4-u^3)}{25} \: \mathrm{d}u \\        &= \frac{1}{25} \int -3u^3(4-u^3) \: \mathrm{d}u \\        &= \frac{1}{25} \int -12u^3 + 3u^6 \: \mathrm{d}u \\        &= \frac{1}{25} \left(-\frac{12}{4}u^4 + \frac{3}{7}u^7 \right) + C \\        &= -\frac{3}{25}u^4 + \frac{3}{175}u^7 + C \\        &= \frac{3}{175}u^7 - \frac{3}{25}u^4 + C \\        &= \frac{3}{175}\sqrt[3]{(4 - 5x)^7} - \frac{3}{25}\sqrt[3]{(4 - 5x)^4} + C \\        &= \frac{3}{175}(4 - 5x)^2\sqrt[3]{(4 - 5x)} - \frac{3}{25}(4 - 5x)\sqrt[3]{(4 - 5x)} + C       \end{align*}

  10. \int \frac{\mathrm{d}x}{(x+\sqrt{x^2+1})^{99}} = \dots
    Lihat Jawaban

    Lakukan permisalan untuk u=x+\sqrt{x^2+1}, dan dapatkan persamaan x :

        \begin{align*}        u - x &= \sqrt{x^2+1}  \\        u^2 - 2ux + x^2 &= x^2+1 \\        - 2ux &= 1-u^2\\        x &= \frac{u^2-1}{2u}\\     \end{align*}

    Lalu cari turunannya, ingat bahwa turunan dari pecahan (\frac{u}{v}) adalah \frac{u'v-v'u}{v^2}

        \begin{align*}       x &= \frac{u^2-1}{2u}\\      \mathrm{d}x &= \frac{2u(2u)-2(u^2-1)}{4u^2} \: \mathrm{d}u \\      \mathrm{d}x &= \frac{4u^2-2u^2+2}{4u^2} \: \mathrm{d}u \\      \mathrm{d}x &= \frac{2u^2+2}{4u^2} \: \mathrm{d}u \\      \mathrm{d}x &= \frac{u^2+1}{2u^2} \: \mathrm{d}u      \end{align*}

    Setelah itu baru lakukan substitusi :

        \begin{align*}      &\int \frac{\mathrm{d}x}{(x+\sqrt{x^2+1})^{99}} \\      &= \int \frac{u^2+1}{2u^2 \cdot u^{99}} \: \mathrm{d}u \\      &= \int \frac{u^2+1}{2u^{101}} \: \mathrm{d}u \\      &= \frac{1}{2} \int \frac{u^2+1}{u^{101}} \: \mathrm{d}u \\      &= \frac{1}{2} \int u^{-99} + u^{-101} \: \mathrm{d}u \\      &= \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{98}u^{-98} - \frac{1}{100}u^{-100} \right) + C \\      &= -\frac{1}{196}u^{-98} - \frac{1}{200}u^{-100} + C \\      &= -\frac{1}{196(x+\sqrt{x^2+1})^{98}} - \frac{1}{200(x+\sqrt{x^2+1})^{100}} + C \\    \end{align*}

2 Comments + Add Comment

  • Terima kasih atas contoh soal integralnya. Membantu sekali. Good luck

  • om ntal kalu aku uda gede ajalin aku pelajalan matematika yah. thx lho om.